A gerenda az épületszerkezet különböző tartási állapotú tartóeleme, leggyakrabban két ponton van megtámasztva. A magánépítésben leggyakrabban fát és fémet használnak gerendaként, ritkábban vasbeton gerendákat.
A gerendák a mennyezetek (padló, mennyezet, erkélyek) és tetők alapjául szolgálnak, és természetesen minden háztulajdonos azt szeretné, ha bármilyen ilyen szerkezet megbízható és tartós legyen a házában.
Van egy nagyon jó, négy évtizede asztalosként dolgozó barátom, aki folyamatosan ajánlja a szélesség √2-szeres keresztmetszeti magasságú gerendák beépítését. Hogyan és mi ez, első pillantásra új szabály ?!
Természetesen nem, ez messze nem új szabály, mindenhol alkalmazzák, és nézzük meg közelebbről ...
Mindannyian legalább egyszer, de hallottuk már az építőktől, hogy a gerenda maximális szilárdsága akkor érhető el, ha egy szabályt betartunk: az optimális keresztirányú a téglalap alakú gerenda szakaszának 7:5 oldalarányból kell állnia - a szakterületük szakemberei azt mondják, hogy egy ilyen sugárnak a maximális tartósság. De vajon az?
Nincs itt semmi bonyolult, és ennek megértéséhez emlékeznie kell a fizika alapjaira. Bármely gerenda szilárdsága közvetlenül függ a keresztmetszetétől, és a következő képlettel számítják ki: K * A * H², amelyben A és H a nyaláb szélessége és magassága, és NAK NEK - együttható figyelembe véve a gerenda hosszát és az anyagot.
Például szükségünk van egy fagerendára egy kerek rönkből, ami megvolna a legjobb teherbíró képesség.
Ez az asztalos rajzolt nekem egy téglalapot, amelyben az átló egyenlő a rönk átmérőjével:
Ezután jön néhány matematikai számítás, ezek átugorhatók a "Következtetés" részhez.
A gerenda keresztmetszetét az átló két derékszögű háromszögre osztja, amelyekben a láb AC (magassága) kiszámítása a következőképpen történik a Pitagorasz-tétel alapján:
AC² = AB² - BC², és ennek megfelelően AC = √ (4R²-X²).
Helyettesítsük be ezt a fenti szilárdsági képletbe:
Erősség = k * X * (4R²-X²)
Felhasználtam iskolai tudásomat, és a zárójeleket kinyitva pontosan ezt az erőfüggvényt ábrázoltam egy függvény grafikonjaként egy koordináta-rácson:
A grafikonon látható, hogyan változik a gerenda szerkezetének szilárdsága az átló méretétől és a gerenda szélességétől (X vagy láb BC) függően.
És most meg kell találnunk a grafikon csúcspontjának vetületét a tengelyen, ezt a kedvenc deriváltunk segítségével tesszük meg, amelyet a függvénynövekmény és az argumentumnövekmény arányának határa fejez ki.
Találunk X-et, amelynek értékénél a függvény deriváltja eltűnne:
X =2R√3/3
A gerenda szélességének ismeretében (X) az erősségi függvény csúcsán, úgy találjuk meg a gerenda magasságát, hogy az értéket behelyettesítjük a Pitagorasz-képletbe:
AC = √ (4R²-X²). Cserélje le X-et és kapja meg:
h = 2R√6 / 3
Következtetés
Nézd, a sugárszélességünk 2R√3 / 3, és ennek a sugárnak a magassága 2R√6 / 3. Ha elosztjuk egyiket a másikkal, akkor pontosan √2 és arányt kapunk a nyaláb két oldalának arányának ez az értéke jellemzi az erősségi grafikon legmagasabb pontja!
Más szóval a maximális szilárdságú gerendának olyan keresztmetszettel kell rendelkeznie, amelyben magassága √2-szer nagyobb, mint a szélessége.
És mi köze ehhez a 7:5-ös képaránynak? Tekintettel arra, hogy a kettő négyzetgyöke, ez egy egyszerű matematikai tört 7/5. Csak hát a √2 értékkel könnyebb operálni, mint az 5. és 7. rész kiszámításával.
Úgy gondolom, hogy minden fűrészáruval dolgozó építőnek legyen fogalma arról, honnan származik ez a képarány!
A 7:5 arányú gerendák:
Köszönöm az idejét és remélem érdekes volt!